新NISA制度への移行は自動的に行われると聞きましたが、平均取得単価は引き継がれるのでしょうか？

新NISAは2023年までのNISAとは異なる制度でございます。
従いまして、新NISAへ移管することはできません。2023年までのつみたてNISAや一般NISAでお買付けされた投資信託につきましては、つみたてNISAはお買付けした年からそれぞれ20年間、一般NISAはお買付けした年からそれぞれ5年間、非課税で運用できます。
新NISAでお買付けされた投資信託は、「新NISA口座」で運用管理することになります。